Интегрируемость НИЗОПа

Пусть $f(x, y) : [a, b] \times [c, d) \to \mathbb{R}$ непрерывна на $[a, b] \times [c, d)$. Если $F(x) = \int_{c}^{d} f(x, y) dy$ сходится равномерно, то $F(x)$ интегрируема, и $$\int_{a}^{b} F(x) dx = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) dy \right) dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) dx \right) dy.$$

По теореме об интегрировании СИЗОПа для $d' < d$: $$\int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d'} f(x, y) dy \right) dx = \int_{c}^{d'} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) dx \right) dy,$$ и осталось перейти к пределу при $d' \to d - 0$.